Отрезки pk и df пересекаются в точке пересечения делятся пополам. докажите, что прямые pd и kf параллельны.

Пусть точка пересечения O, тогда у нас получается, по условию, что DO=OF, а PO=OK.
так же при соединении прямых у нас получит четырёхугольник PDKF
так же 4 треугольника, будем рассматривать их.
рассмотрим треугольники PDO и KOF, в них
PO=OK, DO=OF, угол DOP= углу KOF ( как вертикальные), значит
треугольник PDO=треугольнику KOF и значит PD=KF
теперь рассмотрим треугольники DOK и POF
они равны так как DO=OF, PO=OK и угол DOK=POF
значит DK=PF
из этого следует, что четырёхугольник PDKF является параллелограммом
а в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит
PD || KF

Треугольники POD и KOF равны по первому признаку равенства: две стороны и угол между ними одного треуг-ка соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треуг-ка:
DO=FO по условию
РО=КО по условию
<POD=<KOF как вертикальные углы
В равных треугольниках <P=<K. Это - накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых PD и KF секущей РК. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. PDIIKF