На сторонах вс и cd квадрата авсd отмечены точки м и к соответственно, мс = kd. отрезки dm и ак пересекаются в точке о, 2*ом = ам. найдите угол амо.

Т.к. МС = KD и CD = AD ⇒ прямоугольные треугольники MCD и KDA равны))) 
(по катетам...))
т.е. равны и их углы: CDM = DAK и CMD = AKD 
а т.к. DM является секущей при параллельных сторонах квадрата BC || AD, 
то накрест лежащие углы равны: MDA = DMC и = AKD
и если рассмотреть два треугольника AOD и DOK, то 
можно заметить, что они подобны: 
КАD = KDO (=CDM) и 
ADO (=ADM) = DKO (=DKA) ⇒ 
и третьи углы этих треугольников равны AOD = KOD
но эти углы смежные... их сумма = 180 градусов)))
значит, это прямые углы...
и угол АОМ = 90 градусов
т.е. треугольник АМО -- прямоугольный и
катет ОМ равен половине гипотенузы АМ по условию ⇒ 
угол МАО = 30 градусов, тогда угол АМО = 60 градусов)))

Угол АОМ=90,  угол ОАМ=30(лежит напротив катета, который в 2 раза короче гипотенузы), угол АМО= 90-30=60