Докажите что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата гипотенузы.

Доказательство: Пусть ABC данный треугольник, АВ- его гипотенуза

AN, BM,CL – его медианы

С прямоугольных треугольников ANC,BMC,ABC  по теореме Пифагора:

AN^=AC^2+(BC\2)^2=AC^2+1\4 *BC^2

BM^2=BC^2+(AC\2)^2=BC^2+1\4* AC^2

AC^2+BC^2=AB^2

CL=1\2AB(медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине)

CL^2=1\4AB^2 ,

AN^2+BM^2+CL^2= AC^2+1\4 *BC^2+ BC^2+1\4* AC^2 +1\4AB^2=

5\4*(AC^2+BC^2)+1\4*AB^2=5\4*AB^2+1\4*AB^2=6\4*AB^2=1.5*AB^2

AN^2+BM^2+CL^2=1.5*AB^2

Доказано