Вершины треугольника abc равноудалены от прямой,которая пересекает стороны ab и bc в точках a1 и c1 соответственно.докажите ,что точки a1 и c1 являются серединами сторон ab и bc

Раз вершины равноудалены от прямой, значит высоты , проведенные к этой прямой из вершин, равны. Проведем к прямой высоты AH1, BH2, CH3. Они равны. Рассмотрим треугольники AA1H1 и BH2A1. Они равны по 2-му признаку (Углы BA1H2 и H1A1A равны как вертикальные, углы BH2A1 и  AH1A1 прямые, значит равны и углы A1BH2 и H1AA1, стороны AH1=BH2), следовательно AA1=A1B. Аналогично доказывается, что BC1=C1C