Точки м и н середины сторон ав и вс треугольника авс. докажите что треугольник мвн подобен треугольнику авс.

Т.к. м середина ав, а н середина вс, то мн - средняя линия треугольника авс, значит мн параллелен ас и мн равен 1/2 ас. 
угол в - общий для треугольников авс и мвн, угол вмн равен углу вас (как углы при параллельных прямых ас и мн и секущей ав) 
аналогично, угол внм равен углу вса (угол при параллельных прямых ас и мн и секущей вс)
значит треугольник мвн подовен авс по трем углам