Две стороны параллелограмма равны13 сми14 см, а одна из диагоналей равна15 см. найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.
Рассмотрим треугольник со сторонами 13,14 и 15., соответственно, угол алфа лежит против диагонали, по теореме косинусов его cos(alfa)=5/13,sin(alfa)=12/13 следовательно, по формуле cos(alfa)=2*cos^2(alfa/2)-1 cos(alfa/2)=3/sqrt(13) sin(alfa/2)=2/sqrt(13) sin(beta)=sin(alfa)=12/13 cos(beta)=-5/13 Рассмотрим треугольник, отсекаемый биссектрисой с углами alfa/2, beta и gamma при стороне 13. sin(180-gamma)=sin(gamma)=sin(alfa/2+beta)=sin(alfa/2)*cos(beta)+cos(alfa/2)*sin(beta)=2/sqrt(13)*(-5/13)+3/sqrt(13)*12/13= 2/sqrt(13) Значит угол gamma=alfa/2 и отсекаемый треугольник равнобедренный с двумя сторонами по 13. Значит, его площадь равна: S=13*13*1/2*sin(beta)=6*13=78 Аналогично находится площадь другого треугольника.
Рассмотрим треугольник со сторонами 13,14 и 15.,
соответственно, угол алфа лежит против диагонали, по теореме косинусов его cos(alfa)=5/13,sin(alfa)=12/13
следовательно, по формуле cos(alfa)=2*cos^2(alfa/2)-1
cos(alfa/2)=3/sqrt(13)
sin(alfa/2)=2/sqrt(13)
sin(beta)=sin(alfa)=12/13
cos(beta)=-5/13
Рассмотрим треугольник, отсекаемый биссектрисой с углами
alfa/2, beta и gamma при стороне 13.
sin(180-gamma)=sin(gamma)=sin(alfa/2+beta)=sin(alfa/2)*cos(beta)+cos(alfa/2)*sin(beta)=2/sqrt(13)*(-5/13)+3/sqrt(13)*12/13=
2/sqrt(13)
Значит угол gamma=alfa/2 и отсекаемый треугольник равнобедренный с двумя сторонами по 13.
Значит, его площадь равна: S=13*13*1/2*sin(beta)=6*13=78
Аналогично находится площадь другого треугольника.