Возьмём на высоте точку K и рассмотрим 2 треугольника AKP и KCP, где точка P это основание. Так так высота является и медианой, то AP=PC. KP общая и треугольники прямоугольные они равны по двум катетам. Из равенства следует, что AK=KC значит треугольник равнобедренный.
