У прямокутному трикутнику один з гострих кутів удвічі менший за другий, а різниця г-потенузи й меншого катета дорівнює 12 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Позначимо менший гострий кут як x. Оскільки один гострий кут удвічі менший за інший, то другий гострий кут дорівнює 2x.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює квадратному кореню з суми квадратів катетів. Позначимо менший катет як a, тоді:

a^2 + (a * tan x)^2 = (a * sec x)^2

a^2 + a^2 * tan^2 x = a^2 / cos^2 x

cos^2 x + cos^2 x * tan^2 x = 1

cos^2 x * (1 + tan^2 x) = 1

cos x = 1 / sqrt(1 + tan^2 x)

Також маємо рівняння:

(a * sec x) - a = 12

a * (sec x - 1) = 12

a = 12 / (sec x - 1)

Підставимо значення a у вираз для гіпотенузи:

h = sqrt(a^2 + (a * tan x)^2)

h = a / cos x

h = (12 / (sec x - 1)) / (1 / sqrt(1 + tan^2 x))

h = 12 * sqrt(1 + tan^2 x) / (sec x - 1)

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює 12 * sqrt(5) см, де sqrt позначає квадратний корінь.

Відповідь від ChatGPT