В опуклому чотирикутнику пряма, яка проходить через середини двох протиле- жних сторін, утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника. Доведіть, що діагоналі

рівні
только по быстрее

Доказано, что диагонали равны.

Объяснение:

В выпуклом четырехугольнике прямая, которая проходит через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник;

AC и BD - диагонали;

АМ = МВ; DК = КС;

∠АЕМ = ∠DОК.

Доказать: AC = BD.

Доказательство:

Дополнительное построение:

Отметим Н - середина ВС.

Соединим М и К с Н.

Обозначим углы 1, 2, 3, 4 (см. рис)

1. Рассмотрим ΔАВС.

АМ = МВ (условие);

ВН = НС (построение)

⇒ МН - средняя линия ΔАВС.

Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ МН || AC, МН = 0,5AC

2. Рассмотрим ΔВСD.

CK = KD (условие);

ВН = НС (построение)

⇒ НK - средняя линия ΔВСD.

⇒ НK || BD, НK = 0,5BD

3. Рассмотрим ΔМНК.

∠1 = ∠3 (накрест лежащие при МН || AC и секущей МK)

∠2 = ∠4 (накрест лежащие при НК || BD и секущей МK)

∠1 = ∠2 (условие) ⇒ ∠3 = ∠4

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ МН = НК.

4. МН = 0,5AC ⇒ АС = 2МН  (п.1)

НK = 0,5BD ⇒ BD = 2HK (п.2)

МН = НК (п.3)

⇒ АС = ВD

Доказано, что диагонали равны.

#SPJ1