Находим отрезок MD: MD = OM/tg(a) = r/tg(a/2).
Для правильной треугольной пирамиды высота основания AD = 3MD.
h = AD = 3r/tg(a/2).
Отсюда находим ребро основания: a = AD/cos30° = (3r/tg(a/2)/(√3/2) = (√3r/(2tg(a/2)).
Тогда площадь основания So = a²√3/4 = (3r²/(4tg²(a/2))*(√3/4) =
= (3√3r²/16tg²(a/2)).
Площадь боковой поверхности Sбок = So/cos(a) = (3√3r²/16tg²(a/2))/cos(a) = (3√3r²/16sin²(a/2))*cos(a)).
Получаем ответ: площадь полной поверхности равна S = So + Sбок =
= So + So/cos(a) = So(1 + (1/cos(a)) = (3√3r²/16tg²(a/2))* (1 + (1/cos(a)).
Находим отрезок MD: MD = OM/tg(a) = r/tg(a/2).
Для правильной треугольной пирамиды высота основания AD = 3MD.
h = AD = 3r/tg(a/2).
Отсюда находим ребро основания: a = AD/cos30° = (3r/tg(a/2)/(√3/2) = (√3r/(2tg(a/2)).
Тогда площадь основания So = a²√3/4 = (3r²/(4tg²(a/2))*(√3/4) =
= (3√3r²/16tg²(a/2)).
Площадь боковой поверхности Sбок = So/cos(a) = (3√3r²/16tg²(a/2))/cos(a) = (3√3r²/16sin²(a/2))*cos(a)).
Получаем ответ: площадь полной поверхности равна S = So + Sбок =
= So + So/cos(a) = So(1 + (1/cos(a)) = (3√3r²/16tg²(a/2))* (1 + (1/cos(a)).