Через вершину а прямоугольника abcd проведена наклонная ам к плоскости прямоугольника, составляющая углы альфа со сторонами ad и ab. найдите sinальфа, если угол между этой наклонной и плоскостью прямоугольника равен фи
Пусть МО⊥(АВС). Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ. ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника, ∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника. ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.
Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.
Пусть а - сторона квадрата АКОН. Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата. ΔАМО: АМ = AO / cos φ = a√2 / cos φ ΔAMH: cos α = АН / AM = a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2 sin α = √(1 - cos²α)
Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.
ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,
∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.
ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.
Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.
Пусть а - сторона квадрата АКОН.
Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.
ΔАМО: АМ = AO / cos φ = a√2 / cos φ
ΔAMH: cos α = АН / AM = a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2
sin α = √(1 - cos²α)