Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

Ответ:

рябиночка17

26.01.2022 06:00

Многогранный угол составлен боковыми сторонами -угольной пирамиды, в основании которой лежит выпуклый -угольник. Рассмотрим одну из таких сторон. Докажем, что $\gamma$ (см. рисунок). Тогда $\cos\theta = \dfrac{\vec{d}\vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|}$ и $\cos\gamma = \dfrac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{(\vec{d}+\vec{h})(\vec{e}+\vec{h})}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{\sqrt{d^2+h^2}\sqrt{e^2+h^2}}$ . Вот сейчас будет немного муторно: $\dfrac{\cos\gamma}{\cos\theta} = \dfrac{\underbrace{\vec{d}\vec{e}}_{=s}+h^2}{s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}}$ . Однако $s+h^2 s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}$ , действительно, $1+\dfrac{2h^2}{s}+\dfrac{h^4}{s^2}1+\dfrac{h^2}{e^2}+\dfrac{h^2}{d^2}+\dfrac{h^4}{e^2d^2}$ , что верно, поскольку каждое слагаемое слева (кроме единицы) больше соответствующего слагаемого справа. Поэтому $\cos\gamma \cos\theta \Rightarrow \gamma$ . Теперь спроецировав вершину многогранного угла на плоскость (многоугольник), получим, что сумма плоских углов меньше суммы углов при вершине проекции , которая равна в точности $360^{\circ}$ , что и требовалось.

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

майнкрафтерчитак

15.07.2021 04:08

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через его катеты, перпендикулярны к плоскости основания. наклонные боковые ребра равны 2дм и 3дм, они...

pinok21rus

15.07.2021 04:08

Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12см и 6см, а один из углов равен 60....

Этоясказал

15.07.2021 04:08

Вправильной треугольной призме abca1b1c1, все ребра которой 1, найдите расстояние между прямыми аа1 и вс1...

9109160145davla

15.07.2021 04:08

Отношение диагонали прямоугольника к его длине равно 5: 3.ширина прямоугольника 8см.найти его площадь...

di1808

01.06.2020 09:03

Рассмотрим точку р внутри треугольника авс и через нее три отрезка, параллельных соответствующим сторонам треугольника. пусть s1, s2, s3 – площади треугольников, возникающих при разбиении...

полина2054

01.06.2020 09:03

Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой....

Puroscok009

08.05.2022 02:19

Дана прямоугольная трапеция abcd (ad- большее основание, ав _|_ ad). площадь трапеции равна 150 √3 см2,...

mkim7119

24.10.2022 19:10

1. Разность двух углов, образующихся при пересечении двух прямых равна 20°. Найдите эти углы...

Zlata2828

09.01.2022 18:06

Вариант 1 1. Выпишите равнобедренные и равносторонние треугольники на рисунке 33 и укажите, какие углы в них равны. B 5 5,1 5,2 ф, х, - 8 8 с 5 Рис. 33. 2. Периметр равнобедренного...

violetta1888

09.05.2023 15:35

Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами а(2; 1), в(3; 4), с(1; 6)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку