1. Пересечение плоскости и плоскости в пространстве. 2. Направление вектора и его свойства - скалярные произведения.

3. Координаты вершин тетраэдра задаются как A (2; -1; 3), B (1; -3; 5), C (6; 2; 5), D (3; -2; - 5). Определите длину высоты от вершины D до стороны ABC.

1) и 2) ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.

3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.

Находим нормальный вектор плоскости АВС.  

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).

Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.

i         j        k|       i        j

-1      -2       2|      -1      -2

4        3      2|       4       3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =

                                          = -10i + 10j + 5k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).

Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.

Далее находим объём пирамиды ABCD.

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).

Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).

AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),

(ABxAC) = -10    10     5

       AD =   1      -1      -8  

                -10  - 10  -  4 = -60.

V = (1/6)*|-60| = 10.  

Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:

H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.