Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим ситуацию, когда у трех данных прямых есть общая точка. Пусть эта точка имеет координаты (a, b).
Так как дано, что точка (a, b) лежит на первой прямой y = kx + m, подставим координаты точки в уравнение прямой:
b = ka + m
Также, точка (a, b) лежит на второй прямой y = mx + n:
b = ma + n
И, наконец, точка (a, b) лежит на третьей прямой y = nx + k:
b = na + k
У нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений, где каждое уравнение соответствует одной из прямых.
Давайте решим эту систему, чтобы найти значения переменных k, m, n:
1) Вычтем из уравнения y = ka + m уравнение y = ma + n:
ka - ma = m - n
(a - a)k = m - n
0 = m - n
m = n (1)
2) Подставим значение m = n в уравнение y = ka + m:
b = ka + n
Вычтем уравнение y = na + k из этого уравнения:
b - na - k = 0
3) Подставим значение m = n в уравнение y = nx + k:
b = na + k
Теперь объединяя два уравнения полученных выше, мы получаем:
b - na - k = b - na - k
0 = 0
Примечание: Каждое уравнение в системе, включая исходный пример, обращается в утверждение 0 = 0. Это означает, что система уравнений имеет бесконечное множество решений. В частности, мы выяснили, что значения m и n в прямых y = mx + n и y = nx + k одинаковые.
Таким образом, мы доказали, что если прямые y = kx + m, y = mx + n и y = nx + k имеют общую точку, то они совпадают.
Так как дано, что точка (a, b) лежит на первой прямой y = kx + m, подставим координаты точки в уравнение прямой:
b = ka + m
Также, точка (a, b) лежит на второй прямой y = mx + n:
b = ma + n
И, наконец, точка (a, b) лежит на третьей прямой y = nx + k:
b = na + k
У нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений, где каждое уравнение соответствует одной из прямых.
Давайте решим эту систему, чтобы найти значения переменных k, m, n:
1) Вычтем из уравнения y = ka + m уравнение y = ma + n:
ka - ma = m - n
(a - a)k = m - n
0 = m - n
m = n (1)
2) Подставим значение m = n в уравнение y = ka + m:
b = ka + n
Вычтем уравнение y = na + k из этого уравнения:
b - na - k = 0
3) Подставим значение m = n в уравнение y = nx + k:
b = na + k
Теперь объединяя два уравнения полученных выше, мы получаем:
b - na - k = b - na - k
0 = 0
Примечание: Каждое уравнение в системе, включая исходный пример, обращается в утверждение 0 = 0. Это означает, что система уравнений имеет бесконечное множество решений. В частности, мы выяснили, что значения m и n в прямых y = mx + n и y = nx + k одинаковые.
Таким образом, мы доказали, что если прямые y = kx + m, y = mx + n и y = nx + k имеют общую точку, то они совпадают.