На равных отрезках АВ и ВС отметили точки М и Р соответственно так, что угол ВАР равен углу ВСМ. Отрезки АР и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что АО=ОС

(См. рисунок)

Доказательство: ΔАВР = ΔВМС по стороне и двум прилежащим к ней углам – второй признак равенства треугольников

(АВ = ВС, ∠ВАР = ∠ВСМ по условию, ∠В - общий) ⇒ ВМ = ВР ⇒

АМ = АВ - ВМ = РС = ВС - ВР. Далее ∠АОМ = ∠СОР как вертикальные углы ⇒ ∠АМО = 180° - (∠АОМ + ∠ВАР) = ∠ОРС = 180° - (∠СОР + ∠ВСМ) ⇒ ΔАОМ = ΔОРС по стороне и двум углам (∠ВАР = ∠ВСМ - по условию, ∠АМО  = ∠ОРС, АМ = РС) ⇒ АО = ОС как стороны равных треугольников, лежащие против соответственных равных углов.