На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и Р так, что BM : MC = 2:5, CP:PD=3:1. Выразите вектор МР через векторы AB = a и AD = b
Для начала, давайте посмотрим на параллелограмм ABCD:
A_____________B
| |
D|_____________|C
Из условия мы знаем, что BM : MC = 2:5, что означает, что вектор BM является двумя пятнадцатыми вектора MC.
Теперь давайте рассмотрим вектор МР. Из построения видно, что вектор МР можно представить как сумму векторов MB и BP:
МР = МB + BP
Теперь вспомним, что вектор MO является двумя пятнадцатыми вектора MC. Мы можем записать это следующим образом:
MO = 2/7 * MC
Теперь, чтобы выразить вектор MB через вектор МО, мы можем воспользоваться тем же самым соотношением:
MB = 2/7 * MO
Аналогично, мы знаем, что вектор BP является третьей четвертью вектора PD. Мы можем записать это следующим образом:
BP = 3/4 * PD
Теперь мы можем выразить вектор МР через векторы МО и PD:
МР = 2/7 * МО + 3/4 * PD
Но у нас все еще остались векторы МО и PD, которые мы должны выразить через векторы AB и AD.
Мы знаем, что вектор МО является двумя пятнадцатыми вектора MC, а вектор MC может быть выражен через векторы AB и AD:
MC = AB + AD
Если мы подставим это в наше выражение для МО, мы получим:
МО = 2/7 * (AB + AD)
Теперь давайте рассмотрим вектор PD. Мы знаем, что вектор PD является единичной четвертью вектора CP. Мы также знаем, что вектор CP может быть выражен через векторы AB и AD:
CP = AB - AD
Подставляя это в нашу формулу для PD, мы получим:
PD = 1/4 * (AB - AD)
Теперь у нас есть выражения для МО и PD через векторы AB и AD. Давайте их подставим в наше предыдущее выражение для МР:
МР = 2/7 * (2/7 * (AB + AD)) + 3/4 * (1/4 * (AB - AD))
Упрощая это выражение, получаем:
МР = 4/49 * AB + 4/49 * AD + 3/16 * AB - 3/16 * AD
Комбинируя коэффициенты перед AB и AD, мы получаем окончательный ответ:
МР = (4/49 + 3/16) * AB + (4/49 - 3/16) * AD
Таким образом, МР можно выразить через векторы AB и AD следующим образом:
A_____________B
| |
D|_____________|C
Из условия мы знаем, что BM : MC = 2:5, что означает, что вектор BM является двумя пятнадцатыми вектора MC.
Теперь давайте рассмотрим вектор МР. Из построения видно, что вектор МР можно представить как сумму векторов MB и BP:
МР = МB + BP
Теперь вспомним, что вектор MO является двумя пятнадцатыми вектора MC. Мы можем записать это следующим образом:
MO = 2/7 * MC
Теперь, чтобы выразить вектор MB через вектор МО, мы можем воспользоваться тем же самым соотношением:
MB = 2/7 * MO
Аналогично, мы знаем, что вектор BP является третьей четвертью вектора PD. Мы можем записать это следующим образом:
BP = 3/4 * PD
Теперь мы можем выразить вектор МР через векторы МО и PD:
МР = 2/7 * МО + 3/4 * PD
Но у нас все еще остались векторы МО и PD, которые мы должны выразить через векторы AB и AD.
Мы знаем, что вектор МО является двумя пятнадцатыми вектора MC, а вектор MC может быть выражен через векторы AB и AD:
MC = AB + AD
Если мы подставим это в наше выражение для МО, мы получим:
МО = 2/7 * (AB + AD)
Теперь давайте рассмотрим вектор PD. Мы знаем, что вектор PD является единичной четвертью вектора CP. Мы также знаем, что вектор CP может быть выражен через векторы AB и AD:
CP = AB - AD
Подставляя это в нашу формулу для PD, мы получим:
PD = 1/4 * (AB - AD)
Теперь у нас есть выражения для МО и PD через векторы AB и AD. Давайте их подставим в наше предыдущее выражение для МР:
МР = 2/7 * (2/7 * (AB + AD)) + 3/4 * (1/4 * (AB - AD))
Упрощая это выражение, получаем:
МР = 4/49 * AB + 4/49 * AD + 3/16 * AB - 3/16 * AD
Комбинируя коэффициенты перед AB и AD, мы получаем окончательный ответ:
МР = (4/49 + 3/16) * AB + (4/49 - 3/16) * AD
Таким образом, МР можно выразить через векторы AB и AD следующим образом:
МР = (65/784) * AB + (13/784) * AD