Если в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 образует углы а, в, у с его рёбрами АВ, АD, AA1 соответственно , то cos²a+cos²b+cos²y=1. Доведите. Решите с рисунком

Прямоугольный параллелепипед

- ребра из одной вершины взаимно перпендикулярны

- противоположные грани - равные прямоугольники

AC1=d, AB=X, AD=Y, AA1=Z

AB⊥(BBC1) => AB⊥C1B

d^2 =Z^2 + AC^2 (т Пифагора)

AC^2 =X^2 +Y^2

=> d^2 =X^2 +Y^2 +Z^2

В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений.

∠C1AB =a, ∠C1AD=b, C1AA1=y

cosa =X/d, cosb =Y/d, cosy =Z/d

Возведем в квадрат и сложим:

cosa^2 +cosb^2 +cosy^2 =(X^2 +Y^2 +Z^2)/d^2 =d^2/d^2 =1

Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.