Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре A1D1 отмечена точка M — так, что A1M:MD1=1:2.
Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).

Для начала разберемся с тем, что такое синус угла ϕ. Синус угла - это отношение противоположной стороны треугольника к его гипотенузе.

В нашем случае у нас есть треугольник AMB1. Рассмотрим его.

Длина стороны AM равна длине стороны A1M по условию, то есть AM = A1M = 1.

Теперь найдем длину стороны AB1. Рассмотрим треугольник A1B1M. В нем сторона A1B1 в два раза длиннее стороны A1M. Значит, AB1 = 2 * A1M = 2 * 1 = 2.

Теперь найдем длину стороны BM. В треугольнике AMB1 мы знаем длину сторон AM и AB1. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит, что квадрат гипотенузы (BM) равен сумме квадратов катетов (AM и AB1).

BM^2 = AM^2 + AB1^2
BM^2 = 1^2 + 2^2
BM^2 = 1 + 4
BM^2 = 5

Извлекаем квадратный корень:

BM = √5

Теперь у нас есть все стороны треугольника AMB1. Рассмотрим треугольник AMB1D1. Нам нужно найти синус угла ϕ, который в данном случае является отношением противоположной стороны (BM) к гипотенузе (MD1).

Так как у нас треугольник прямоугольный (угол M прямой), то в данном случае гипотенуза (MD1) будет являться диагональю плоскости BB1D1D.

Теперь подставим значения в формулу синуса:

sin ϕ = BM / MD1
sin ϕ = (√5) / MD1

Нам необходимо найти длину гипотенузы MD1. Рассмотрим треугольник A1D1M. Мы знаем отношение AM к MD1, которое равно 1:2. То есть:

AM / MD1 = 1 / 2

Мы знаем, что AM = 1:

1 / MD1 = 1 / 2

Перевернем дробь:

MD1 / 1 = 2 / 1

MD1 = 2

Теперь подставим найденное значение MD1 в формулу синуса:

sin ϕ = (√5) / MD1
sin ϕ = (√5) / 2

Окончательный ответ:
Синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен (√5) / 2.