2.15. У трикутнику АВС відомо, що C = 90°, B = 30°, точка М середина сторони AB. Серединний перпендикуляр відрізка AB перетинає відрізок ВС у точці К. Доведіть, що МК =1/3BC

Объяснение:Нехай ∆АВС - прямокутний (∟C = 90°), ZB = 30°, МК - серединний перпендикуляр до сторони АВ.

Доведемо, що МК = 1/3ВС.

Розглянемо ∟АВС (∟C = 90°).

Оскільки ∟B = 30°, то АС = 1/2АВ.

МК - серединний перпендикуляр до АВ, тобто ВМ = МА = 1/2АВ і МК ┴ АВ.

Так як АС = 1/2АВ i ВМ = 1/2АВ, то АС = ВМ = МА.

Проведемо АК i розглянемо ∆АМК i ∆АСК:

1) ∟AMK = ∟АСК = 90° (за умовою);

2) АК - спільна;

3) AM = AC (iз попереднього).

Отже, ∆АМК = ∆АСК за катетом i гіпотенузою, тоді МК = КС.

Нехай МК = КС = х.

Розглянемо ∆ВМК (∟M = 90°): ∟B = 30°, тоді МК = -ВК,

ВК = 2 • МК = 2х. Так як т. А: належить відрізку ВС, то ВС = ВК + КС;

ВС = 2х + х = 3х; МК = х. Отже, МК = 1/3ВС.