В круговой сектор, ограниченный радиусами ОА и 0В, с центральным углом а ( а < пи / 2) вписан квадрат так, что две его соседние вершины лежат на радиусе ОА, третья вершина - на радиусе ОВ, а четвертая вершина - на дуге АВ. Найти отношение площадей квадрата и сектора

Площадь сектора выражается формулой S = π х r² х α/360.

Для определения стороны квадрата воспользуемся свойством хорд, пересекающихся в круге.

Для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее равенство:  |AS| *|SC|=|BS|* |SD|.

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S. Более точно это можно выразить следующим образом:

|AS|* |SC|=|BS|* |SD|=r^{2}-d^{2},

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S.

На прилагаемом чертеже точкой S является точка D.

Примем длину стороны вписанного квадрата за х.

Тогда  |AS|* |SC| = х².

Расстояние d = x + (x/tg α).

Составляем уравнение:

x² = r² - (x + (x/tg α))².

Отсюда находим выражение длины стороны квадрата через радиус и угол: x² = r²*tg²(α)/(tg²(α) + (1 + tg(α))²).

Если для конкретных данных подставим значение r = 1, α = π/4, то получим S(кв) = x² = 1/5.

Для сектора радиусом r = 1, α = π/4 площадь S = π/8.

Отношение S(кв)/S = 8(5*π).