Задан рисунок: 1.png

На рисунке: OA = OB; BD = AC. Точка E – точка пересечения прямых AD и BC. Докажите, что OE – биссектриса угла DOC.

Указание: для решения задачи необходимо воспользоваться тремя различными признаками равенства для различных пар треугольников.

1). В ∆ ВОС и ∆ DОА : стороны ДО=СО по сумме равных отрезков (DВ+ВО)=(СА+АО), ВО=АО (дано); угол О - общий,

∆ ВОС=∆ DОА по 1 признаку.

2) В ∆ DEВ и ∆ СЕА: углы при Е равны ( вертикальные). ∠D=∠С из доказанного выше равенства треугольников ВОС и DОА; ⇒

в ∆ DEВ и ∆ СЕА и третьи углы равны. ∠DBE=∠САЕ и прилежат к равным по условию DB и CA ⇒

∆ DEВ=∆ СЕА по 2 признаку.

3) В ∆ DOЕ и ∆ СОЕ равны по две стороны: DE=CE, DO=CO, сторона ЕО - общая.

∆ DOЕ=∆ СОЕ по 3 признаку.⇒

Угол ЕOD=углу СОЕ ⇒ ОЕ - биссектриса угла DOC