Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.
Решение.
1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН , точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.
Пусть ВН=h , AH=R. Vкон=1/3*Sосн*h , Sосн=π*R²
Выразим объём через высоту конуса.
Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1
По т. Пифагора , ΔABH , АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .
2) ΔКВО~ ΔHBA по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).
Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²= .
3) V(h)= = = .
V' =
= , V'=0, при h=4 .
V' _ _ _ _(4) + + + +
V ↓ ↑ , значит h=4 точка минимума. Наименьший объём достигается в точке минимума .
V = ⇒ V= ед³ .
Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.
Решение.
1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН , точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.
Пусть ВН=h , AH=R. Vкон=1/3*Sосн*h , Sосн=π*R²
Выразим объём через высоту конуса.
Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1
По т. Пифагора , ΔABH , АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .
2) ΔКВО~ ΔHBA по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).
Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²=
.
3) V(h)=
= 
= 
.
V' =
=
, V'=0, при h=4 .
V' _ _ _ _(4) + + + +
V ↓ ↑ , значит h=4 точка минимума. Наименьший объём достигается в точке минимума .
V =
⇒ V=
ед³ .