Докажите, что среди всех треугольников с данными вели- чинами стороны AC и угла ∠B наибольшая сумма AB + BC будет у
равнобедренного треугольника с основанием AC.

Отрезок AC виден из точки B под данным углом - точка B лежит на некоторой данной дуге.

Задача Архимеда о половине ломаной:

Ломаная A-B-C вписана в дугу ADC, точка D - середина дуги. Докажем, что перпендикуляр DH, опущенный на больший отрезок AB, делит ломаную пополам.

Пусть AE=BC

DA=DC (стягивают равные дуги)

∠DAB=∠DCB (опираются на одну дугу)

△DAE=△DCB => DE=DB

△EDB - р/б, DH - высота и медиана, EH=HB

AE+EH=HB+BC

Теперь видно, что достаточно максимизировать отрезок AH.

В треугольнике ADH катет AH всегда меньше гипотенузы AD. Максимум достигается, когда точки H, D, B совпадают.

То есть, когда B - середина дуги, BA=BC.