Вне которой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин основной трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов. доказать, что эта трапеция равнобокая.

От противного. Предположим, что трапеция равнобедренная:
AO=OB=y(по свойствам трапеции)
В треугольнике AOB по теореме косинусов:

OD=OC=x
В треугольнике DOC по теореме косинусов:

a=y и b=x, тогда диагональ d=b+a(подтверждаем условие)
Треугольники DOC и AOB - правильные, т.к a=y=y и b=x=x, тогда их углы равны по 60.
Рассмотрим треугольники DBA и ACB, 
x+y=x+y, следовательно ВD=AC, AB - общая, углы DBA и CAD равны по 60, следовательно треугольники равны, следовательно DA=CB, следовательно трапеция - ранобедренная