Сторона меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды равна 2 см, а боковое ребро пирамиды, равное корень из 2 см, образует со стороной большего основания 45 градусов. Найдите боковую поверхность усечённой пирамиды. Какую часть она составляет от боковой поверхности полной пирамиды, из которой получена данная усеченная пирамида?
По условию, сторона меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды равна 2 см. Пусть сторона большего основания будет обозначена буквой "а".
Заметим, что треугольник, образованный боковым ребром пирамиды и боковыми ребрами меньшего основания, является равнобедренным, так как две его стороны равны 2 см. Значит, угол при вершине этого треугольника равен 45 градусов.
Теперь применим тригонометрическое соотношение для равнобедренного треугольника: tg(угол) = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
В нашем случае: tg(45 градусов) = (сторона меньшего основания) / (половина стороны большего основания).
tg(45 градусов) = 2 / (а/2).
Решим это уравнение относительно "а":
tg(45 градусов) = 2 / (а/2)
1 = 2 / (а/2)
1 = 4 / а
а = 4.
Таким образом, сторона большего основания равна 4 см.
Теперь найдем боковую поверхность усечённой пирамиды.
Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников, где основаниями являются стороны большего и меньшего основания, а высотой является боковое ребро.
Так как все три треугольника равны, найдем площадь одного из них и умножим на 3.
Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = (сторона основания * высота) / 2.
В нашем случае:
S = (4 * (корень из 2)) / 2
S = 2 * (корень из 2).
Таким образом, площадь одного треугольника равна 2 * (корень из 2), а площадь боковой поверхности усечённой пирамиды составляет 3 * 2 * (корень из 2) = 6 * (корень из 2) см².
Чтобы найти часть боковой поверхности полной пирамиды, из которой получена усеченная пирамида, нужно поделить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды на площадь боковой поверхности полной пирамиды.
Площадь боковой поверхности полной пирамиды можно найти по формуле: S = (периметр основания * высота) / 2.
В нашем случае, высота равна боковому ребру, то есть, корень из 2.
Периметр основания треугольной пирамиды равен 3 * (сторона меньшего основания) = 3 * 2 = 6.
Теперь найдем площадь боковой поверхности полной пирамиды:
S = (6 * (корень из 2)) / 2
S = 3 * (корень из 2).
Чтобы найти часть, которую составляет боковая поверхность усечённой пирамиды, нужно поделить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды на площадь боковой поверхности полной пирамиды:
Часть = (площадь усечённой пирамиды) / (площадь полной пирамиды)
Часть = (6 * (корень из 2)) / (3 * (корень из 2))
Часть = 2 / 3.
Таким образом, боковая поверхность усечённой пирамиды равна 6 * (корень из 2) см², и она составляет 2/3 от боковой поверхности полной пирамиды.