Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК : КР = 1 : 3, АВ = 14.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных к окружности и пропорции.

Шаг 1: Проанализируйте задачу и обозначьте данные.
Из задачи дано, что АВ = 14 и АК:КР = 1:3.

Шаг 2: Найдите длину отрезка АК.
Из пропорции АК:КР = 1:3, мы знаем, что длина отрезка АК в 3 раза больше, чем длина отрезка КР. Поэтому, длина отрезка КР равна 1/3 длины отрезка АК. Так как АВ и АК являются секущими, мы можем использовать теорему о секущей и касательной, которая гласит, что квадрат длины секущей равен произведению отрезков, на которые эта секущая делит окружность. Поэтому, (АК + КР)^2 = АВ^2.

Подставляя данные, получим:
(АК + 1/3 АК)^2 = 14^2.

Шаг 3: Решите полученное уравнение.
Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:
(4/3 АК)^2 = 196.

Упростим уравнение:
16/9 АК^2 = 196.

Перенесем константу на другую сторону:
АК^2 = 196 * 9 / 16.

Вычислим:
АК^2 = 441.

Извлекая корень, получим:
АК = √441.

АК = 21.

Шаг 4: Найдите длину отрезка КР.
Из задачи дано, что длина отрезка АК в 3 раза больше, чем длина отрезка КР. Поэтому, длина отрезка КР равна 1/3 длины отрезка АК. Подставляя значение АК, получим:
КР = 1/3 * 21.

Вычислим:
КР = 7.

Шаг 5: Найдите длину отрезка АР.
Длина отрезка АР равна сумме длин отрезков АК и КР:
АР = АК + КР.

Подставляя значения АК и КР, получим:
АР = 21 + 7.

Вычислим:
АР = 28.

Ответ: Длина отрезка АК равна 21, а длина отрезка АР равна 28.