Надо найти связь между радиусом описанной вокруг правильного треугольника окружности и его стороной.
Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки пересечения медиан-биссектрис-высот до вершин, то есть 2/3 от высоты, а высота равна стороне, умноженной на √3/2 (то есть на синус 60 градусов). Поэтому сторона a равна
a = R*√3;
(то же самое получится, если просто записать теорему синусов 2*R*sin(60) = a)
Итак, высота равна R*3/2 = 15; сторона 10*√3; отсюда площадь 15*10*√3/2 = 75*√3;
Надо найти связь между радиусом описанной вокруг правильного треугольника окружности и его стороной.
Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки пересечения медиан-биссектрис-высот до вершин, то есть 2/3 от высоты, а высота равна стороне, умноженной на √3/2 (то есть на синус 60 градусов). Поэтому сторона a равна
a = R*√3;
(то же самое получится, если просто записать теорему синусов 2*R*sin(60) = a)
Итак, высота равна R*3/2 = 15; сторона 10*√3; отсюда площадь 15*10*√3/2 = 75*√3;
Известно, что сторону а вписанного правильного тр-ка и радиус R окружности, в которую этот тр-к вписан, связывает следующее отношение:
а = R·√3
a = 10√3.
Полупериметр треугольника р = (а + а + а):2 = 1,5 а
По формуле Герона площадь тр-ка:
S = √(p·(p-a)(p - a)(p - a) =
= √(1,5a·0,5a·0,5a·0,5a) =
= 0,25a²√3
Подставим a = 10√3 и получим:
S = 0,25·100·3√3 = 75√3(см²)