Перпендикуляри, проведені з деякої точки простору на усі сторони правильного трикутника, мають одну й ту ж довжину. Інша точка простору віддалена від цих перпендикулярів і від площини трикутника на 10 см. Відстань між даними точками дорівнює 26 см. Обчислити площу трикутника.

S = 675√3 см².

Объяснение:

Задача: Перпендикуляры, проведенные с некоторой точки пространства S на все стороны правильного треугольника ABC, имеют одну и ту же длину. Другая точка пространства J, удалена от этих перпендикуляров и от плоскости треугольника на 10 см. Расстояние SJ между данными точками равно 26 см. Вычислить площадь треугольника.

Другими словами, в правильную треугольную пирамиду (основание - правильный треугольник АВС, апофемы - высоты боковых граней - равны, значит вершина S проецируется в центр О основания) вписана сфера  радиуса R = 10 cм, с центром в точке J, отстоящим от вершины S на 26 см.

В прямоугольном треугольнике SKJ по Пифагору найдем катет SK = √(SJ²-JK²) = √(26²-10²) = 24 см.

Прямоугольные треугольники SKJ и SOH подобны по острому углу OSH - общий. SO = SJ + JO = 26+10 = 36 см. Из подобия имеем:

SO/SK = OH/JK.

OH = JK·SO/SK = 10·36/24 = 15 см.

Отметим, что ОН = (1/3)·АН так как точка О - центр правильного треугольника, точка пересечения его высот и медиан.  Тогда АН = 15·3 = 45 см. Это высота треугольника АВС.

Тогда по известной формуле h = (√3/2)·a находим сторону треугольника.

а = 45·2/√3 = 30√3 см.

Площадь правильного треугольника равна S = (√3/4)·a².

S = (√3/4)·(30√3)² = 2700·√3/4 = 675√3 см².