Из концов диаметра ab окружности опущены перпендикуляры aa1 и bb1 на касательную. докажите, что точка касания с является серединой отрезка a1b1.

 ОС - радиус, перпендикулярен к касательной. Значит А1С и В1С являются проекциями отрезков АО и ОВ на касательную.Но АО=ОВ (радиусы - половины диаметра АВ), значит равны и их проекции, то есть А1С=СВ1 или точка С является серединой отрезка А1В1.
Что и требовалось доказать.