решить, лежат ли точки А(-2,4,3), В(4,-2,3),С(0,6,7) и О(0,0,0) в одной плоскости

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA =  0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-2)        y - 4      z - 3

4 - (-2)      (-2) - 4      0 - 3

0 - (-2)       6 - 4         7 - 3  = 0

x - (-2)      y - 4          z - 3

   6           -6           -3

  2             2             4    = 0

(x - (-2))  (-6·4-(-3)·2)  -  (y - 4)  (6·4-(-3)·2)  +  (z - 3)  (6·2-(-6)·2)  = 0

(-18) (x - (-2))  + (-30) (y - 4)  + 24 (z - 3)  = 0

- 18x - 30y + 24z + 12 = 0 или, сократив на -6 имеем:

  3x + 5y - 4z - 2 = 0.

Если поставить в это уравнение координаты точки О(0; 0; 0), то получим -2 ≠ 0. Эта точка не лежит в плоскости АВС.