Докажите, что четырёхугольник с вершинами A(3;-2) В(4;0) С(2;1) D(1;-1) является прямоугольником.

Объяснение:

Докажем сначала, что ABCD - параллелограмм.

AB(1; 2); DC(1; 2); AB = DC BC( 2; 1); AD( 2; 1); BC - AD. Поскольку у четырехугольника ABCD противоположные стороны равны, то это - параллелограмм.

соя =

AB-AD

AB AD = 1 (-2) + 2-1 = -2 + 2 = 0 ,

тогда cos = 0, отсюда = 90° Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольни-

ком.

Сначала найдём координаты середин диагоналей и проверим, пересекаются ли они в одной точке.

Диагональ АС:

х=(3+2)/2=2,5

у=(-2+1)/2=-0,5

Точка (2,5; -0,5)

Диагональ BD:

x=(4+1)/2=2,5

y=(0-1)/2=-0,5

Точка (2,5; -0,5)

Координаты середин двух диагоналей совпадают. ABCD – параллелограмм. Теперь нужно доказать, что он ещё и прямоугольник. Для этого диагонали должны быть равны. Проверим и докажем это.

|АС|=(2-3)²+(1+2)²=1+9=10

|BD|=(1-4)²+(-1-0)²=9+1=10

Диагонали равны. ABCD – прямоугольник, что и требовалось доказать.