Через середину k медианы b m треугольника a bc и вершину a проведена прямая , пересекающая сторону b c в точке p . найдите отношение площади треугольника a bk к площади четырёхугольника k pcm
Пл АВМ = пл СВМ = 1/2 S так как медиана делит треуг на равновеликие
В треуг МАВ отрезок АК - тоже медиана т.к. К - середина ВМ
тогда
Пл АВК = пл МАК = 1/2 пл АВМ = 1/2 * 1/2 * S = 1/4 S
Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК
КР = 1/4 АР ( это очевидно если провести среднюю линии через М параллельно СВ т.к. средняя линия делит АР пополам, а К середина ВМ то К делит половину АР тоже пополам)
Тогда площадь ВКР / площадь ВАК = 1/3 (так как у них общая высота а основания КР/КА = 1/3 )
Тогда пл ВКР = 1/3 * пл АВК = 1/3 * 1/4 * S = 1/12 * S
Тогда Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК = 1/2 * S - 1/12 * S = 5/12 * S
Теперь можно найти отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM = ( 1/4* S ) / (5/12 * S) = 3/5
Пусть S - площадь тр АВС
Пл АВМ = пл СВМ = 1/2 S так как медиана делит треуг на равновеликие
В треуг МАВ отрезок АК - тоже медиана т.к. К - середина ВМ
тогда
Пл АВК = пл МАК = 1/2 пл АВМ = 1/2 * 1/2 * S = 1/4 S
Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК
КР = 1/4 АР ( это очевидно если провести среднюю линии через М параллельно СВ т.к. средняя линия делит АР пополам, а К середина ВМ то К делит половину АР тоже пополам)
Тогда площадь ВКР / площадь ВАК = 1/3 (так как у них общая высота а основания КР/КА = 1/3 )
Тогда пл ВКР = 1/3 * пл АВК = 1/3 * 1/4 * S = 1/12 * S
Тогда Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК = 1/2 * S - 1/12 * S = 5/12 * S
Теперь можно найти отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM = ( 1/4* S ) / (5/12 * S) = 3/5
ответ 3/5