з кінців відрізка, що лежать у двох перпендикулярних площинах проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких дорівнюють 4 і 5 см.
Відстань між основами перпендикулярів дорівнює 2√2 см. Знайти довжину даного відрізка.

Пусть данные плоскости а и b.

А ∈ а, В ∈ b.

АН⊥СН, ВС⊥СН

ВН - проекция АВ на плоскость b,

АС - проекция АВ на плоскость а.

∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°

По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112

АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.

∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°

По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512

АВ=√512=16√2

Или:

∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒

По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256

ВС=√256=16

∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°

По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒

АВ=√512=16√2