Около треугольника с углами 30,70,80, описана окружность.определите углы треугольника ,вершины которого с серединами меньших дуг,стягиваемых сторонами данного треугольника.

Интересное задание, давно не встречал.

Итак, пусть это будет ΔАВС, угол А=80⁰, угол В=30⁰, угол С=70⁰

Все углы А, В и С - вписанные углы, опирающиеся на меньшие дуги ВС, АС и АВ, соответственно. Поскольку вписанный угол равен половине градусной величины дуги, на которую он опирается, то:

Дуга ВС=160⁰

Дуга АС=60⁰

Дуга АВ=140⁰

Точки М, N, К - середины дуг  ВС, АС и АВ, соответственно, и делят дуги ВС, АС и АВ пополам. Таким образом:

Дуга ВМ=дуге МС=80⁰

Дуга CN=дуге NA=30⁰

Дуга АК=дуге КВ=70⁰

Углы М, N, К - также вписанные углы, опирающиеся на дуги KN, KM и MN, соответственно, которые равны:

Дуга КN=дуга NA+дуга АК=30⁰+70⁰=100⁰

Дуга КМ=дуга КВ+дуга ВМ=70⁰+80⁰=150⁰ 

Дуга MN=дуга МС+дуга CN=80⁰+30⁰=110⁰

Углы M, N и К равны половинам градусных величин  дуг KN, KM и MN, соответственно:

Угол М=50⁰

Угол N=75⁰

Угол К=55⁰

Как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))

Делим окружность на соответствующие дуги и пользуясь свойством вписанный угол равен половине сответствующего центрального(опирающегося на одну и ту же дугу) получаем

55, 75,50

см вложение