Противоположные стороны четырёхугольника равны. Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует с этими сторонами равные углы.
В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны.
Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.
Решение
Пусть M и N – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD. Если K – середина стороны BC, то KM – средняя линия треугольника ABC, а KN – средняя линия треугольника BCD. Поэтому KM || AB, KM = ½ AB, KN || CD, KN = ½ CD = ½ AB = KM.
Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда
∠BPM = ∠KMN = ∠KNM = ∠CQN. Что и требовалось доказать.
Условие
В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны.
Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.
Решение
Пусть M и N – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD. Если K – середина стороны BC, то KM – средняя линия треугольника ABC, а KN – средняя линия треугольника BCD. Поэтому KM || AB, KM = ½ AB, KN || CD, KN = ½ CD = ½ AB = KM.
Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда
∠BPM = ∠KMN = ∠KNM = ∠CQN. Что и требовалось доказать.
Объяснение: