Впрямоугольном треугольнике авс угол в равен 90, мn средняя линия mn // ав. докажите, что радиус окружности вписанный в треугольник авс, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанный в треугольник мnc.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле

r=(a+b-c):2
Проведем вторую среднюю линию NL, параллельную АВ и равную половине АВ.

Пусть стороны ⊿ АMN равны a,b,c,

тогда стороны⊿ АВС=2a, 2b, 2c, так как MN и NL - его средние линии.

Радиус вписанной в ⊿АМN окружности равен

r=(a+b-c):2

Cтороны ⊿АВС в два раза больше сторон ⊿ АMN, и радиус его будет:

R=(2a+2b-2c):2=2(a+b-c):2=(a+b-c).

R=2r, что и требовалось доказать.