1. в треугольнике авс ав=7, ас=20, вс=15. окружность, вписанная в этот треугольник, касается его сторон в точках м, n и k. найдите площадь треугольника mnk.(до десятых). 2. в равнобедренной трапеции даны основания 21 и 9 и высота равна 8. найдите длину описанной около трапеции окружности.(ответ до десятых, учитывая, что число пи=3).
1. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей. Зная значения сторон треугольника и длины радиуса вписанной окружности, мы сможем найти площадь треугольника.
Длины сторон треугольника АВС: АВ = 7, АС = 20, ВС = 15.
Пусть радиус вписанной окружности равен r.
Найдем полупериметр треугольника АВС:
s = (АВ + АС + ВС) / 2 = (7 + 20 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.
Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r * s = r * 21.
Также известно, что площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:
S = √(s * (s - АВ) * (s - АС) * (s - ВС)).
Учитывая, что S = r * s, мы можем записать уравнение:
r * 21 = √(21 * (21 - 7) * (21 - 20) * (21 - 15)),
которое мы можем решить относительно r:
r * 21 = √(21 * 14 * 1 * 6),
441r^2 = 1764,
r^2 = 4,
r = 2.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2.
Далее, нам нужно найти длины отрезков мн, nk и km, которые являются радиусами вписанной окружности.
По теореме о касательных, отрезки мн, nk и km равны друг другу и равны радиусу вписанной окружности, то есть 2.
Теперь мы можем рассмотреть треугольники амн, нкм и кмн, которые являются равнобедренными треугольниками с равными боковыми сторонами мн=кн=км=2.
Таким образом, площадь каждого из этих треугольников равна:
S = (1/2) * mн * кн = (1/2) * 2 * 2 = 2.
Поскольку треугольник mnk состоит из трех таких треугольников, его площадь равна:
S(mnk) = 2 + 2 + 2 = 6.
Ответ: площадь треугольника mnk равна 6.
2. Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством описанной окружности равнобедренной трапеции.
Допустим, A и В - вершины оснований трапеции, а С и D - вершины боковых сторон.
Для начала, нарисуем равнобедренную трапецию. Нам известны ее основания: 21 и 9, и высота: 8.
B_________C
/ \
/ \
/ \
A--------------------D
Обозначим радиус описанной окружности через r.
Так как дана высота, то получим уравнение:
CD = AB + 2 * r.
Зная основания равнобедренной трапеции (AB = 21 и CD = 9) и радиус описанной окружности, мы можем записать уравнение:
9 = 21 + 2 * r,
2r = 9 - 21,
2r = -12,
r = -6.
Понятно, что в данном случае невозможно получить отрицательный радиус, поэтому делаем вывод, что такая окружность не существует.
Ответ: не существует окружности, описанной вокруг данной трапеции.