Высота конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите площадь основания конуса и площадь его поверхности.

Осевое сечение конуса это р/б треугольник( диаметр основания это основание р.б треугольника)

Высота конуса совпадает с высотой р/б треугольника.

Высота в р.б треугольнике является и медианой, и биссектрисой. И делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, рассмотрим один из них:

В нём мы знаем:

Катет в 4см и можем найти один из углов, который находится при вершине р.б.(120/2=60*)

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90*.

Найдём второй острый угол(90*-60*=30*)

Напротив угла в 30* находится катет равный половине гипотенузы.

Напротив этого угла у нас лежит катет в 4 см, значит гипотенуза равна 8 см(2*4см)

По теореме Пифагора найдём второй катет, равный радиусу:

\sqrt{8^2-4^2}= \sqrt{64-16} = \sqrt{48}

8

2

−4

2

=

64−16

=

48

r= \frac{D}{2}= \frac{\sqrt{48} }{2} = \frac{ 2\sqrt{12} }{2} =\sqrt{12}r=

2

D

=

2

48

=

2

2

12

=

12

В основании цилиндра лежит окружность , найдём площадь

S= (\sqrt{12})^2 *pi=12piS=(

12

)

2

∗pi=12pi

Объём цилиндра:

V=h*pi*r^2V=h∗pi∗r

2

V=4*(\sqrt{12})^2pi=4*12pi=48piV=4∗(

12

)

2

pi=4∗12pi=48pi