.(Вправильной четырёхугольной пирамиде мавсd сторона ав основания равна 6√2, а боковое ребро ма равно 12 см. найдите: а) площадь боковой поаерхности пирамиды б) объём пирамиды) в) угол наклона боковой грани к плоскости основания
г) угол между боковым ребром и плоскостью основания д) скалярное произведение векторов (ав+ад)ам е) площадь сферы, описанной около пирамиды).

Решение

Проведем МК - апофема

по теореме Пифагора Mk=√(MA²-(AB/2)²)=√(12²-3√2²)=√128=6√2 см

а) Sбок=1/2Pa=1/2*4*6√2*8√2=192 см²

Найдем высоту пирамиды MO: MO=√(MK²-(AB/2))=√(8√2²-3√2²)=√110 см

б) V=1/3SH=1/3*(6√2)²*√110=24√110 см³

в) угол наклона боковой грани к плоскости основания cosMKO=KO/MK=3√2/8√2=3/8

г) угол между боковым ребром и плоскостью основания MAO: cosMAO=OA/AM=6/12=1/2

MAO=60 градусов

д) скалярное произведение векторов (АВ+АД)АМ=AC*AM

=|AC|*|AM|cosMAO=12*12*1/2=72 см²

е)радиус описанной сферы равен AO1=O1C

рассмотрим треугольник АМС - равносторонний: радиус описанной окружности r=12*√3/3=4√3

Тогда площадь сферы:  S=4πr²=4π*(4√3)²=192π см²