1. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются на стороне AD. Найдите BC, если AB=4. 2. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AN, точка N лежит на стороне BC, причём NC=3, AB=5. Найдите периметр параллелограмма ABCD.
3. Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найти периметр параллелограмма.
Известно, что биссектрисы углов B и C пересекаются на стороне AD. Обозначим точку пересечения биссектрис за P. Поскольку биссектрисы параллельны стороне AD, угол APB равен углу CPD, и эти углы делят параллелограмм на две равные части.
Так как углы B и C равны, угол APB также равен углу CPD. В треугольниках APB и CPD имеется две стороны равной длины – AB = 4 и AD (поскольку они лежат в одной фигуре параллелограмм), а также два равных угла. Поэтому по теореме о равных треугольниках треугольники APB и CPD равны между собой.
Теперь мы можем найти BD – это половина стороны AD, так как треугольник APB является равнобедренным:
BD = AD / 2 = AB / 2 = 4 / 2 = 2.
Теперь, чтобы найти BC, нам нужно вычесть BD из AB:
BC = AB - BD = 4 - 2 = 2.
Ответ: длина стороны BC равна 2.
2. Чтобы найти периметр параллелограмма ABCD, нам нужно знать длины всех его сторон.
Известно, что биссектриса AN делит параллелограмм на две равные части, поэтому стороны AB и CD равны между собой, а также стороны AD и BC равны между собой.
Из условия известно, что AB = 5 и NC = 3. Так как BC равно AD, можно утверждать, что BC = AD - NC = AB - NC = 5 - 3 = 2.
Теперь мы можем найти периметр параллелограмма, сложив все его стороны:
Периметр = AB + BC + CD + AD = 5 + 2 + 5 + 2 = 14.
Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 14.
3. Чтобы найти периметр параллелограмма, нам нужно узнать длины всех его сторон.
Из условия известно, что биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла.
Обозначим вершину тупого угла за A, а точку деления биссектрисы противоположной стороны за M. Так как AM делит сторону BC на отрезки 3 см и 2 см, можно сделать вывод, что BM = 3 см и MC = 2 см.
Так как BM равно MC, у нас есть две равные стороны в параллелограмме – BM и MC. Кроме того, у нас есть равные углы у треугольников BMC и AMD, так как их общие стороны равны. Поэтому по теореме о равных треугольниках треугольники BMC и AMD равны между собой.
Отсюда следует, что углы MBN и NCM равны, так как в параллелограмме противоположные углы равны между собой. Таким образом, треугольники MBN и NCM являются равнобедренными.
Поскольку MB = 3 и MC = 2, мы можем найти длину BN и CN, используя теорему Пифагора:
BN = sqrt(BM² - MN²) = sqrt(3² - 2²) = sqrt(9 - 4) = sqrt(5),
CN = sqrt(CM² - MN²) = sqrt(2² - 2²) = sqrt(4 - 4) = sqrt(0) = 0.
Мы можем видеть, что CN = 0, что означает, что точка N совпадает с точкой C.
Таким образом, мы получаем, что сторона BC равна 2 см, а сторона AB равна 3 + 2 = 5 см, так как BC = MC = 2 см и BM = AB - BC = 5 - 2 = 3 см.
Теперь мы можем вычислить периметр параллелограмма, сложив все его стороны:
Периметр = AB + BC + CD + AD = 5 + 2 + 5 + 2 = 14.
Ответ: периметр параллелограмма равен 14.