Втреугольник abc вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне ab одной вершине- на сторонах ab и bc. найдите площадь квадрата, если ad=40 см, а высота, проведенная из вершины c, имеет длину 24 см.

Сделаем рисунок.
Обозначим основание высоты треугольника буквой Н, верхнюю сторону вписанного квадрата КМ, пересечение высоты ВН треугольника со стороной КМ квадрата буквой Е

Стороны квадрата параллельны. 
Рассмотрим треугольники АВС и КВМ
Они подобны по равным углам: один общий, другие при параллельных основаниях.
Пусть сторона квадрата КМ=а.
Тогда ВЕ=24-а
Из подобия треугольников справедливо отношение
АВ:КМ=ВН:ВЕ

40:а=24:(24-а)

40*(24-а)=24а

960-40а=24а

960=64а

а= 15 см

Площадь квадрата

S=а²=15²=225 см²