Докажите, что если медиана треугольника равна 1/2 стороны к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

можно рассматривать треугольник, вписанный в окружность.  Расстояние от центра до вершин - радиус. Радиус окружности  в прямоугольном тр-ке равен половине гипотенузы и равен  медиане, так как он делит сторону(гипотенузу) пополам.