Докажите теорему . если прямая проходит через конец радиуса,лежащий на окружности,и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной

Как это ни удивительно - доказательство есть уже в самой формулировке теоремы. 

Поскольку радиус перпендикулярен прямой, то его конец - это ближайшая от центра окружности точка на прямой. Все остальные точки прямой находятся от центра на БОЛЬШЕМ расстоянии, поскольку наклонная всегда длинее перпендикуляра.

Поскольку точки ОКРУЖНОСТИ равноудалены от центра, то ВСЕ точки прямой, за исключением конца радиуса, лежат ЗА ПРЕДЕЛАМИ области, ограниченной окружностью (по-просту - дальше от центра).

Есть только одна общая точка - это конец радиуса. А это и есть касание, когда у окружности и прямой только одна общая точка. :)