Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с одной его боковой гранью угол 30 градусов, а с другой угол 45 градусов. найдите объем, если длина его диагонали 12 см.
B₁D - диагональ прямоугольного параллелепипеда. Ребро А₁В₁ перпендикулярно грани АА₁D₁D, значит A₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠A₁DB₁ = 30° - угол между диагональю и этой гранью. Ребро В₁С₁ перпендикулярно грани СС₁D₁D, значит С₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠С₁DB₁ = 45° - угол между диагональю и этой гранью.
ΔB₁A₁D: А₁В₁ = B₁D/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. ΔВ₁С₁D: равнобедренный прямоугольный, В₁С₁ = С₁D = В₁D · sin 45° = 12 · √2|2 = 6√2 см Из ΔC₁CD по теореме Пифагора найдем высоту: СС₁ = √(С₁D² - CD²) = √(72 - 36) = √36 = 6 см
Ребро А₁В₁ перпендикулярно грани АА₁D₁D, значит A₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠A₁DB₁ = 30° - угол между диагональю и этой гранью.
Ребро В₁С₁ перпендикулярно грани СС₁D₁D, значит С₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠С₁DB₁ = 45° - угол между диагональю и этой гранью.
ΔB₁A₁D: А₁В₁ = B₁D/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
ΔВ₁С₁D: равнобедренный прямоугольный,
В₁С₁ = С₁D = В₁D · sin 45° = 12 · √2|2 = 6√2 см
Из ΔC₁CD по теореме Пифагора найдем высоту:
СС₁ = √(С₁D² - CD²) = √(72 - 36) = √36 = 6 см
V = 6√2 · 6 · 6 = 216√2 см³