На диагонали AC параллелограмма ABCD
отметили точки M
и K
так, что AM=CK.
Найдите периметр четырёхугольника MBKD,
если известно, что AC=17,KC=4,BM:MK=2:3,BM:BK=3:5.
Выберите вариант ответа.
Укажите правильный вариант ответа:
25
14
20
32

Для решения этой задачи, нам необходимо применить несколько свойств параллелограммов и пропорций.

Сначала обратим внимание на то, что AM=CK, это означает, что треугольники AMC и CKM равны по сторонам (по стороне AM=CK) и углу CMA (по условию параллелограмма). Следовательно, треугольники равны и по углу CKA (по свойству равенства углов в треугольнике).

Зная, что BM:MK=2:3, мы можем представить длины отрезков BM и MK, как 2x и 3x соответственно, где x - некоторая положительная длина. Аналогично, представим длины отрезков BM и BK, как 3y и 5y соответственно.

Теперь посмотрим на треугольники BMK и BAC. В этих треугольниках углы MBK и BAC равны (по свойству параллелограмма) и углы BKM и ABC равны (по свойству параллелограмма). Из этого следует, что треугольники BMK и BAC подобны.

Используя свойство подобия треугольников, мы можем записать следующие пропорции:

BM/BK = AC/CK
3y/5y = 17/4
3/5 = 17/4
12 = 25y
y = 12/25

Теперь можем найти длины отрезков BM и BK:

BM = 3y = 3 * 12/25 = 36/25
BK = 5y = 5 * 12/25 = 60/25

Мы также знаем, что длина отрезка AC равна 17.

Теперь мы можем найти длину отрезка MK:

MK = AC - CK = 17 - 4 = 13

Теперь можем найти периметр четырёхугольника MBKD:

Периметр MBKD = BM + MK + KD + DM
Заметим, что KD = BC = AC = 17 по параллельности сторон параллелограмма ABCD.

Периметр MBKD = BM + MK + KD + DM
= (36/25) + 13 + 17 + (60/25)
= (36 + 325 + 425 + 60)/25
= 846/25
= 33.84

Ближайшей к полученному результату является опция 32. Ответ: 32.