На высоте равнобедренного треугольника, опущенной на его основание, взята произвольная точка. докажите, что она одинаково удалена от вершин при основании.

Высота в равнобедренном треугольнике - высота, медиана, биссектриса.

Образованные два прямоугольных треугольника равны по двум равным катетам  - один общий, другие равны. Значит гипотенузы равны. Точка равноудалена.