Диагональ ac трапеции abcd является биссектрисой ее острого угла a и делит диагональ bd этой трапеции в отношении m: n (считая от b). точка m пересечения диагоналей трапеции удалена от боковой стороны ab на расстояние a, а
ее средняя линия равна b. найти площадь треугольника bmc.

по свойству биссектрисы АМ высота треугольника AMD = а

Обозначим h - высота ВМС, x = BC y = AD тогда

Из подобия ВМС и AMD 

h = a*m/n;

y = x*n/m;

x + y = 2*b; x = 2*b/(1 + n/m);

Sbmc = x*h/2 = a*b*(m/n)/(1 + n/m) = a*b*m^2/(n*(n + m));

ну, даже и не все понадобилось, только подобие и использовалось.