B равнобедренном треугольнике ABC на боковой стороне BC отмечена точка M такая, что отрезок MC равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K такая, что угол KMC — прямой. Известно, что ∠BCK=25∘. Найдите угол BAC.

Так как высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны, то можем рассмотреть только высоту CE.

Отрезок СК виден из точек Е и М под прямым углом, поэтому четыр-ник СМКЕ можно вписать в окружность. Это ключевой факт в этой задаче. Дальше просто считаем.

∠КЕМ = ∠КСМ = 25° - углы опираются на общую дугу КМ

∠МЕС = 90° - ∠КЕМ = 90° - 25° = 65°

СЕ = СМ - по условию ⇒ ΔСЕМ - равнобедренный

∠ЕСМ = 180° - 65° - 65° = 50°

В ΔВЕС  ∠ЕВС = 90° - ∠ЕСВ = 90° - 50° = 40°

∠ВАС = ∠ВСА = (180° - 40°)/2 = 70°