№7. Дана правильная треугольная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=9, а боковое ребро SB=3√19. Найдите угол образованный плоскостью основания ABC и прямой AM, где M - центр тяжести треугольника SBC.

Точка M - центр тяжести треугольника SBC - находится на пересечении медиан боковой грани, проведенной к боковому ребру. Одна из медиан - апофема которая точкой М делится в отношении 2:1 считая от вершины.

Находим высоту пирамиды по боковому ребру и его проекции на основание, равной (2/3)ho.

(2/3)ho = (2/3)*acos30° = (2/3)*(9√3/2) = 9√3/3 = 3√3.

H = √(L² - ((2/3)ho)²) = √((3√19)² - (3√3)²) = √(171 -  27) = 12.

Отсюда высота точки М от основания равна Н/3, то есть 12/3 = 4.

Проекция АМ на основание равна 3√3 + (2/3)*(3√3/2) =4√3.

Длина АМ = √(4√3)² + 4²) = √(48 + 16) = √64 = 8.

ответ: α = arc sin(4/8) = arc sin(1/2) = 30  градусов.

............................................

Объяснение: