В остроугольном треугольнике ABC отмечены ортоцентр H и центр описанной окружности O. Лучи BH и CO пересекаются в точке P, а лучи CH и BO пересекаются в точке Q. Известно, что ∠APH=135∘. Найдите угол AQO, если угол C равен 40. 2)На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отмечены точки D, E и F соответственно. Прямые BE и CF пересекаются в точке P, ∠FDB=∠EDC=10∘, ∠PDE=95∘. Найдите ∠PDA.

4,85 ед.

Объяснение:

Свойства: "Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.

Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной".

Исходя из этих свойств имеем:

В прямоугольных треугольниках ОРК и JРК по Пифагору:

ОР² = х² + РК².  (1)

JР² =(10- х)² + РК².  (2)

В прямоугольных треугольниках ОРМ и JPN по Пифагору:

ОР²- 1² = JP² - 2²  (касательные равны).

Подставим сюда значения (1) и (2):

х² + РК² - 1  = (10-х)²+ РК² - 4.   =>  20x =100-3.

х = 4,85 ед.